Wahrscheinlichkeitsfunktion einfach erklärt!

Wenn du eine Untersuchung mit diskreten Variablen machst, also Variablen, die nominal- oder ordinalskaliert sind, und du gerne auf einen Blick sehen möchtest, wie wahrscheinlich welche Ausprägungen sind, brauchst du dafür die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

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Was ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Grundsätzlich stellt eine "Funktion" eine Beziehung zwischen zwei Mengen dar. Sie ordnet den Ausprägungen der einen Menge jeweils eine bestimmte Ausprägung der anderen Menge zu, zum Beispiel jedem Wert auf der x-Achse einen bestimmten Wert auf der y-Achse.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder auch Zähldichte) ordnet jeder möglichen Ausprägung einer diskreten Variablen (x-Achse) in einer hübschen Grafik eine bestimmte Wahrscheinlichkeit auf der y-Achse zu.

Sie ist also eine visuelle Darstellung der Auftretenswahrscheinlichkeiten von bestimmten Ausprägungen einer Variablen. Diese Auftretenswahrscheinlichkeiten entsprechen konzeptuell den relativen Häufigkeiten.

Dabei ist der Unterschied zur Dichtefunktion, dass es sich hier um diskrete Variablen oder Merkmale handelt. Hier gibt es zwischen zwei Ausprägungen nichts, da ist quasi ein "Loch" – im Gegensatz zu den stetigen Variablen, wo zwischen zwei Ausprägungen unendlich viele Werte liegen können.

Studienfächer sind beispielsweise diskrete Variablen: da gibt es nichts zwischen Ägyptologie und Alt-Islamistik oder BWL. Daher erfolgt die Darstellung auch nicht in einer Fläche wie bei der Dichtefunktion, sondern mit Säulen, Stäbchen oder Balken für die Wahrscheinlichkeiten der EINZELNEN Ausprägungen.

Wenn du jedoch z. B. bei einem Würfelexperiment berechnen möchtest, wie wahrscheinlich das Werfen von höchstens dreimal 6 oder mindestens zweimal die 1 ist, dann brauchst du die Verteilungsfunktion, die quasi einer "Aufeinanderstapelung" der Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht.

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In welchen Bereich der Statistik gehört sie?

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gehört in die Welt der Inferenzstatistik und dort in den Bereich des theoretischen Grundwissens.

Dieses Wissen brauchst du, um zu verstehen, wie die verschiedenen Verteilungen zustandekommen, was man mit ihnen machen kann und wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet. Diskrete Verteilungen sind z. B. die Binomial- oder Hypergeometrische Verteilung (wir erinnern uns mit Freuden an die schönen Glücksrad- oder Lotto-Aufgaben....;).

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Wie entsteht die Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Angenommen, du untersuchst 120 zufällig ausgewählte Personen und erhebst deren Geschlecht in den Ausprägungen Frau, Mann und Divers. 56 Personen geben ihr Geschlecht als weiblich an, 60 als männlich und 4 als divers.

Nun berechnest du die relativen Häufigkeiten, indem du die jeweilige Ausprägungsanzahl durch die Gesamt-Stichprobengröße N teilst:

Frau: 56 : 120 = 0.47

Mann: 60 : 120 = 0.5

Divers: 4 : 120 = 0.03

Diese relativen Häufigkeiten entsprechen jetzt den Wahrscheinlichkeiten: die Wahrscheinlichkeit, beispielsweise eine Frau zu ziehen, liegt bei 0.47 oder bei 47%.

Dies wird nun folgendermaßen aufgepinselt:

Auf der x-Achse trägst du die vorkommenden Ausprägungen ein: Frau, Mann und Divers.

Dann markierst du liebevoll die y-Achse mit Wahrscheinlichkeiten (immer zwischen 0 und 1) und ziehst die zu den jeweiligen Ausprägungen dazugehörigen Balken bis zum vorher von dir errechneten Punkt. Hier: 0.47 für die Frauen, 0.5 für die Männer und 0.03 für Divers. Das sieht dann folgendermaßen aus (liebevoll von mir gemalt):

wahrscheinlichkeitsfunktion

Und das war's auch schon!

Übrigens: f(x), was du oben an der y-Achse siehst, bedeutet "Funktion von x", also in diesem Falle die Zuordnung der Einzelwahrscheinlichkeiten zu den jeweiligen Geschlechts-Ausprägungen.

Zum Abschluss noch ein superkurzer Steckbrief:

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Steckbrief Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • Wird auch Zähldichte genannt
  • Nur für diskrete Variablen möglich!
  • Visuelle Darstellung von Auftretenswahrscheinlichkeiten einzelner Merkmalsausprägungen
  • Die Auftretenswahrscheinlichkeiten entsprechen konzeptuell den relativen Häufigkeiten
  • Gehört zum Basiswissen für die schließende oder Inferenzstatistik

Quellen:

Bortz, J., & Schuster, C. (2017). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Berlin: Springer.

Field, A. (2018). Discovering Statistics using IBM SPSS Statistics. London: SAGE.

Sedlmeier, P., & Renkewitz, F. (2018). Forschungsmethoden und Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. München: Pearson.

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