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z-Transformation einfach erklärt!

Stell' dir vor, du vermutest, dass du die Queen der emotionalen Intelligenz bist. Das möchtest du natürlich gerne an mindestens einem Test überprüfen. Um sicherzustellen, dass auch wirklich verlässliche Werte herauskommen und du nicht bloß deine Tagesform abbildest, machst du nun an zwei aufeinander folgenden Tagen zwei verschiedene Tests zur emotionalen Intelligenz, um die Werte miteinander vergleichen zu können.

Diese Tests beruhen jedoch jeweils auf unterschiedlichen Mittelwerten und Streuungen. Daher stehst du jetzt vor der großen Frage: was tun mit deinen Ergebnis-Werten? Denn diese lassen sich nicht so einfach unmittelbar miteinander vergleichen. Doch es gibt Hoffnung: die z-Transformation bzw. Standardisierung wandelt die Werte in eine neue gemeinsame Einheit um und macht sie somit direkt vergleichbar!

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Was ist die z-Transformation?

Die z-Transformation oder auch Standardisierung überführt Werte, die mit unterschiedlichen Messinstrumenten erhoben wurden, in eine neue gemeinsame Einheit: in Standardabweichungs-Einheiten. Unabhängig von den Ursprungseinheiten können zwei (oder mehr) Werte nun unmittelbar miteinander verglichen werden.

Das Ergebnis der z-Transformation sind sogenannte "z-Werte". Diese stellen Standardabweichungen vom Mittelwert dar.

Ein z-Wert von 1 bedeutet beispielsweise, dass dieser Wert eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt ist, also eine Standardabweichung oberhalb des Mittelwerts liegt. Ein z-Wert von -2 besagt, dass sich der Wert zwei Standardabweichungen unterhalb des Mittelwerts befindet.

Die z-Werte wohnen in der Standardnormalverteilung – eine theoretische Verteilung von Werten, die für folgende Zwecke zum Einsatz kommt:

  • für den oben genannten Vergleich von Werten 
  • um den z-Test (= Gauß-Test) auf Mittelwertsunterschiede bei bekannter Varianz durchzuführen
  • und um die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle zu berechnen, also z. B. wie wahrscheinlich es ist, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ zwischen 60 und 75 IQ-Punkten hat  

Wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit der ersten Einsatzmöglichkeit: dem Vergleich von Werten.

Und so sieht die Standardnormalverteilung aus – der Mittelwert bzw. Erwartungswert ist immer 0 und die Standardabweichung 1:

standardnormalverteilung
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In welchen Bereich der Statistik gehört die z-Transformation?

Die z-Transformation gehört in die Welt der deskriptiven Statistik – und dort in den Bereich des Grundwissens.

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Wie wird die z-Transformation berechnet?

Hier ist die Formel:

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Beispiel Heinz-Rüdiger:

Heinz-Rüdiger sorgt sich, dass seine Konzentration nachgelassen habe, und sucht daher die Psychologin seines Vertrauens auf.

Diese nötigt er dazu, ihn durch zwei verschiedene Konzentrationstests zu jagen.

Die Tests basieren auf folgenden Kennwerten / Normierungen:

Test 1: μ = 50, σ = 5    Test 2: μ = 80, σ = 15

Heinz-Rüdiger erzielt in Test 1: 56 Punkte und in Test 2: 101 Punkte.

Nun könnte man meinen, dass er in Test 2 fast doppelt so gut wie in Test 1 abgeschnitten hätte. Doch diese Testergebnisse lassen sich nicht unmittelbar miteinander vergleichen!

Daher wandelt sie die Psychologin flott in z-Werte um:

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Diese z-Werte lassen sich jetzt direkt miteinander vergleichen:

Heinz-Rüdiger hat in beiden Tests ähnlich abgeschnitten und liegt jeweils über eine Standardabweichung oberhalb des Mittelwerts. 

Guckst du:

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Wie sag' ich's Tante Erna?

„Heinz-Rüdiger hat in beiden Konzentrationstests leicht überdurchschnittlich abgeschnitten.“

(z-Werte von 1.2 und 1.4)

„Er muss sich also keine Sorgen um seine Konzentrationsfähigkeit machen!“  

Na bitte! Da sind wir jetzt sehr erleichtert...

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​Z-Transformation - das Video

Und Zum Abschluss noch ein Steckbrief:

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Steckbrief z-Transformation

  • = Standardisierung
  • Umwandlung von Werten, die mit verschiedenen Messinstrumenten erhoben wurden, um sie vergleichen zu können
  • Nur bei metrischen Variablen anwendbar
  • Die neuen Werte sind z-Werte und wohnen in der Standardnormalverteilung
  • Die z-Werte sind nun unmittelbar miteinander vergleichbar
  • z-Werte stellen die Abweichung vom Mittelwert in Standardabweichungs-Einheiten dar
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​Meine Challenge an Dich 🥳

Schnapp' dir doch gleich mal ein paar Werte, erfinde die Kennwerte / Normierungen dazu (also mü und sigma) und z-transformiere, was das Zeug hält!

Anschließend pinselst du bitte eine Standardnormalverteilung und versuchst dich an einer Interpretation für Tante Erna.

Viel Spaß!

Quellen:

Bortz, J., & Schuster, C. (2017). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Berlin: Springer.

Field, A. (2018). Discovering Statistics using IBM SPSS Statistics. London: SAGE.

Sedlmeier, P., & Renkewitz, F. (2018). Forschungsmethoden und Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler. München: Pearson.

  • Werner Lauchart sagt:

    Super erklärt! Vielen Dank!

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